Биноминальное распределение. Биномиальное распределение

Биномиальное распределение

распределение вероятностей числа появлений некоторого события при повторных независимых испытаниях. Если при каждом испытании вероятность появления события равна р, причём 0 ≤ p ≤ 1, то число μ появлений этого события при n независимых испытаниях есть случайная величина, принимающая значения m = 1, 2,.., n с вероятностями

где q = 1 - p, a - биномиальные коэффициенты (отсюда название Б. р.). Приведённая формула иногда называется формулой Бернулли. Математическое ожидание и Дисперсия величины μ, имеющей Б. р., равны М (μ) = np и D (μ) = npq , соответственно. При больших n, в силу Лапласа теоремы (См. Лапласа теорема), Б. р. близко к нормальному распределению (См. Нормальное распределение), чем и пользуются на практике. При небольших n приходится пользоваться таблицами Б. р.

Лит.: Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, М., 1965.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Биномиальное распределение" в других словарях:

Функция вероятности … Википедия

- (binomial distribution) Распределение, позволяющее рассчитать вероятность наступления какого либо случайного события, полученного в результате наблюдений ряда независимых событий, если вероятность наступления, составляющих его элементарных… … Экономический словарь

- (распределение Бернулли) распределение вероятностей числа появлений некоторого события при повторных независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна p(0 p 1). Именно, число? появлений этого события есть… … Большой Энциклопедический словарь

биномиальное распределение - — Тематики электросвязь, основные понятия EN binomial distribution …

- (распределение Бернулли), распределение вероятностей числа появлений некоторого события при повторных независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна р (0≤р≤1). Именно, число μ появлений этого события… … Энциклопедический словарь

биномиальное распределение - 1.49. биномиальное распределение Распределение вероятностей дискретной случайной величины X, принимающей любые целые значения от 0 до n, такое что при х = 0, 1, 2, ..., n и параметрах n = 1, 2, ... и 0 < p < 1, где Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Распределение Бернулли, распределение вероятностей случайной величины X, принимающей целочисленные значения с вероятностями соответственно (биномиальный коэффициент; р параметр Б. р., наз. вероятностью положительного исхода, принимающей значения … Математическая энциклопедия

- (распределение Бернулли), распределение вероятностей числа появлений нек рого события при повторных независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна р (0<или = p < или = 1). Именно, число м появлений … Естествознание. Энциклопедический словарь

Биномиальное распределение вероятностей - (binomial distribution) Распределение, которое наблюдается в случаях, когда исход каждого независимого эксперимента (статистического наблюдения) принимает одно из двух возможных значений: победа или поражение, включение или исключение, плюс или … Экономико-математический словарь

биномиальное распределение вероятностей - Распределение, которое наблюдается в случаях, когда исход каждого независимого эксперимента (статистического наблюдения) принимает одно из двух возможных значений: победа или поражение, включение или исключение, плюс или минус, 0 или 1. То есть… … Справочник технического переводчика

Книги

• Теория вероятностей и математическая статистика в задачах. Более 360 задач и упражнений , Д. А. Борзых. В предлагаемом пособии содержатся задачи различного уровня сложности. Однако основной акцент сделан на задачах средней сложности. Это сделано намеренно с тем, чтобы побудить студентов к…
• Теория вероятностей и математическая статистика в задачах: Более 360 задач и упражнений , Борзых Д.. В предлагаемом пособии содержатся задачи различного уровня сложности. Однако основной акцент сделан на задачах средней сложности. Это сделано намеренно с тем, чтобы побудить студентов к…

Биномиальное распределение - одно из важнейших распределений вероятностей дискретно изменяющейся случайной величины. Биномиальным распределением называется распределение вероятностей числа m наступления события А в n взаимно независимых наблюдениях . Часто событие А называют "успехом" наблюдения, а противоположное ему событие - "неуспехом", но это обозначение весьма условное.

Условия биномиального распределения :

• в общей сложности проведено n испытаний, в которых событие А может наступить или не наступить;
• событие А в каждом из испытаний может наступить с одной и той же вероятностью p ;
• испытания являются взаимно независимыми.

Вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит именно m раз, можно вычислить по формуле Бернулли:

,

где p - вероятность наступления события А ;

q = 1 - p - вероятность наступления противоположного события .

Разберёмся, почему биномиальное распределение описанным выше образом связано с формулой Бернулли . Событие - число успехов при n испытаниях распадается на ряд вариантов, в каждом из которых успех достигается в m испытаниях, а неуспех - в n - m испытаниях. Рассмотрим один из таких вариантов - B 1 . По правилу сложения вероятностей умножаем вероятности противоположных событий:

,

а если обозначим q = 1 - p , то

.

Такую же вероятность будет иметь любой другой вариант, в котором m успехов и n - m неуспехов. Число таких вариантов равно - числу способов, которыми можно из n испытаний получить m успехов.

Сумма вероятностей всех m чисел наступления события А (чисел от 0 до n ) равна единице:

где каждое слагаемое представляет собой слагаемое бинома Ньютона. Поэтому рассматриваемое распределение и называется биномиальным распределением.

На практике часто необходимо вычислять вероятности "не более m успехов в n испытаниях" или "не менее m успехов в n испытаниях". Для этого используются следующие формулы.

Интегральную функцию, то есть вероятность F (m ) того, что в n наблюдениях событие А наступит не более m раз , можно вычислить по формуле:

В свою очередь вероятность F (≥m ) того, что в n наблюдениях событие А наступит не менее m раз , вычисляется по формуле:

Иногда бывает удобнее вычислять вероятность того, что в n наблюдениях событие А наступит не более m раз, через вероятность противоположного события:

.

Какой из формул пользоваться, зависит от того, в какой из них сумма содержит меньше слагаемых.

Характеристики биномиального распределения вычисляются по следующим формулам .

Математическое ожидание: .

Дисперсия: .

Среднеквадратичное отклонение: .

Биномиальное распределение и расчёты в MS Excel

Вероятность биномиального распределения P n (m ) и значения интегральной функции F (m ) можно вычислить при помощи функции MS Excel БИНОМ.РАСП. Окно для соответствующего расчёта показано ниже (для увеличения нажать левой кнопкой мыши).

MS Excel требует ввести следующие данные:

• число успехов;
• число испытаний;
• вероятность успеха;
• интегральная - логическое значение: 0 - если нужно вычислить вероятность P n (m ) и 1 - если вероятность F (m ).

Пример 1. Менеджер фирмы обобщил информацию о числе проданных в течение последних 100 дней фотокамер. В таблице обобщена информация и рассчитаны вероятности того, что в день будет продано определённое число фотокамер.

День завершён с прибылью, если продано 13 или более фотокамер. Вероятность, что день будет отработан с прибылью:

Вероятность того, что день будет отработан без прибыли:

Пусть вероятность того, что день отработан с прибылью, является постоянной и равна 0,61, и число проданных в день фотокамер не зависит от дня. Тогда можно использовать биномиальное распределение, где событие А - день будет отработан с прибылью, - без прибыли.

Вероятность того, что из 6 дней все будут отработаны с прибылью:

.

Тот же результат получим, используя функцию MS Excel БИНОМ.РАСП (значение интегральной величины - 0):

P 6 (6 ) = БИНОМ.РАСП(6; 6; 0,61; 0) = 0,052.

Вероятность того, что из 6 дней 4 и больше дней будут отработаны с прибылью:

где ,

,

Используя функцию MS Excel БИНОМ.РАСП, вычислим вероятность того, что из 6 дней не более 3 дней будут завершены с прибылью (значение интегральной величины - 1):

P 6 (≤3 ) = БИНОМ.РАСП(3; 6; 0,61; 1) = 0,435.

Вероятность того, что из 6 дней все будут отработаны с убытками:

,

Тот же показатель вычислим, используя функцию MS Excel БИНОМ.РАСП:

P 6 (0 ) = БИНОМ.РАСП(0; 6; 0,61; 0) = 0,0035.

Решить задачу самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. В урне 2 белых шара и 3 чёрных. Из урны вынимают шар, устанавливают цвет и кладут обратно. Попытку повторяют 5 раз. Число появления белых шаров - дискретная случайная величина X , распределённая по биномиальному закону. Составить закон распределения случайной величины. Определить моду, математическое ожидание и дисперсию.

Продолжаем решать задачи вместе

Пример 3. Из курьерской службы отправились на объекты n = 5 курьеров. Каждый курьер с вероятностью p = 0,3 независимо от других опаздывает на объект. Дискретная случайная величина X - число опоздавших курьеров. Построить ряд распределения это случайной величины. Найти её математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Найти вероятность того, что на объекты опоздают не менее двух курьеров.

Приветствую всех читателей!

Статистический анализ, как известно, занимается сбором и обработкой реальных данных. Дело полезное, а зачастую и выгодное, т.к. правильные выводы позволяют избежать ошибок и потерь в будущем, а иногда и правильно угадать это самое будущее. Собранные данные отражают состояние некоторого наблюдаемого явления. Данные часто (но не всегда) имеют числовой вид и с ними можно проделывать различные математические манипуляции, извлекая тем самым дополнительную информацию.

Однако не все явления измеряются в количественной шкале типа 1, 2, 3 … 100500 … Не всегда явление может принимать бесконечное или большое количество различных состояний. Например, пол у человека может быть либо М, либо Ж. Стрелок либо попадает в цель, либо не попадает. Голосовать можно либо «За», либо «Против» и т.д. и т.п. Другими словами, такие данные отражают состояние альтернативного признака – либо «да» (событие наступило), либо «нет» (событие не наступило). Наступившее событие (положительный исход) еще называют «успехом». Такие явления также могут носить массовый и случайный характер. Следовательно, их можно измерять и делать статистически обоснованные выводы.

Эксперименты с такими данными называются схемой Бернулли , в честь известного швейцарского математика, который установил, что при большом количестве испытаний соотношение положительных исходов и общего количества испытаний стремится к вероятности наступления этого события.

Переменная альтернативного признака

Для того, чтобы в анализе задействовать математический аппарат, результаты подобных наблюдений следует записать в числовом виде. Для этого положительному исходу присваивают число 1, отрицательному – 0. Другими словами, мы имеем дело с переменной, которая может принимать только два значения: 0 или 1.

Какую пользу отсюда можно извлечь? Вообще-то не меньшую, чем от обычных данных. Так, легко подсчитать количество положительных исходов – достаточно просуммировать все значения, т.е. все 1 (успехи). Можно пойти далее, но для этого потребуется ввести парочку обозначений.

Первым делом нужно отметить, что положительные исходы (которые равны 1) имеют некоторую вероятность появления. Например, выпадение орла при подбрасывании монеты равно ½ или 0,5. Такая вероятность традиционно обозначается латинской буквой p . Следовательно, вероятность наступления альтернативного события равна 1 — p , которую еще обозначают через q , то есть q = 1 – p . Указанные обозначения можно наглядно систематизировать в виде таблички распределения переменной X .

Теперь у нас есть перечень возможных значений и их вероятности. Можно приступить к расчету таких замечательных характеристик случайной величины, как математическое ожидание и дисперсия . Напомню, что математическое ожидание рассчитывается, как сумма произведений всех возможных значений на соответствующие им вероятности:

Вычислим матожидание, используя обозначения в таблицы выше.

Получается, что математическое ожидание альтернативного признака равно вероятности этого события – p .

Теперь определим, что такое дисперсия альтернативного признака. Также напомню, что дисперсия – есть средний квадрат отклонений от математического ожидания. Общая формула (для дискретных данных) имеет вид:

Отсюда дисперсия альтернативного признака:

Нетрудно заметить, что эта дисперсия имеет максимум 0,25 (при p=0,5) .

Среднее квадратическое отклонение – корень из дисперсии:

Максимальное значение не превышает 0,5.

Как видно, и математическое ожидание, и дисперсия альтернативного признака имеют очень компактный вид.

Биномиальное распределение случайной величины

Теперь рассмотрим ситуацию под другим углом. Действительно, кому интересно, что среднее выпадение орлов при одном бросании равно 0,5? Это даже невозможно представить. Интересней поставить вопрос о числе выпадения орлов при заданном количестве подбрасываний.

Другими словами, исследователя часто интересует вероятность наступления некоторого числа успешных событий. Это может быть количество бракованных изделий в проверяемой партии (1- бракованная, 0 — годная) или количество выздоровлений (1 – здоров, 0 – больной) и т.д. Количество таких «успехов» будет равно сумме всех значений переменной X , т.е. количеству единичных исходов.

Случайная величина B называется биномиальной и принимает значения от 0 до n (при B = 0 — все детали годные, при B = n – все детали бракованные). Предполагается, что все значения x независимы между собой. Рассмотрим основные характеристики биномиальной переменной, то есть установим ее математическое ожидание, дисперсию и распределение.

Матожидание биномиальной переменной получить очень легко. Вспомним, что есть сумма математических ожиданий каждой складываемой величины, а оно у всех одинаковое, поэтому:

Например, математическое ожидание количества выпавших орлов при 100 подбрасываниях равно 100 × 0,5 = 50.

Теперь выведем формулу дисперсии биномиальной переменной. есть сумма дисперсий. Отсюда

Среднее квадратическое отклонение, соответственно

Для 100 подбрасываний монеты среднеквадратическое отклонение равно

И, наконец, рассмотрим распределение биномиальной величины, т.е. вероятности того, что случайная величина B будет принимать различные значения k , где 0≤ k ≤n . Для монеты эта задача может звучать так: какова вероятность выпадения 40 орлов при 100 бросках?

Чтобы понять метод расчета, представим, что монета подбрасывается всего 4 раза. Каждый раз может выпасть любая из сторон. Мы задаемся вопросом: какова вероятность выпадения 2 орлов из 4 бросков. Каждый бросок независим друг от друга. Значит, вероятность выпадения какой-либо комбинации будет равна произведению вероятностей заданного исхода для каждого отдельного броска. Пусть О – это орел, Р – решка. Тогда, к примеру, одна из устраивающих нас комбинаций может выглядеть как ООРР, то есть:

Вероятность такой комбинации равняется произведению двух вероятностей выпадения орла и еще двух вероятностей не выпадения орла (обратное событие, рассчитываемое как 1 — p ), т.е. 0,5×0,5×(1-0,5)×(1-0,5)=0,0625. Такова вероятность одной из устраивающих нас комбинации. Но вопрос ведь стоял об общем количестве орлов, а не о каком-то определенном порядке. Тогда нужно сложить вероятности всех комбинаций, в которых присутствует ровно 2 орла. Ясно, все они одинаковы (от перемены мест множителей произведение не меняется). Поэтому нужно вычислить их количество, а затем умножить на вероятность любой такой комбинации. Подсчитаем все варианты сочетаний из 4 бросков по 2 орла: РРОО, РОРО, РООР, ОРРО, ОРОР, ООРР. Всего 6 вариантов.

Следовательно, искомая вероятность выпадения 2 орлов после 4 бросков равна 6×0,0625=0,375.

Однако подсчет подобным образом утомителен. Уже для 10 монет методом перебора получить общее количество вариантов будет очень трудно. Поэтому умные люди давно изобрели формулу, с помощью которой рассчитывают количество различных сочетаний из n элементов по k , где n – общее количество элементов, k – количество элементов, варианты расположения которых и подсчитываются. Формула сочетания из n элементов по k такова:

Подобные вещи проходят в разделе комбинаторики. Всех желающих подтянуть знания отправляю туда. Отсюда, кстати, и название биномиального распределения (формула выше является коэффициентом в разложении бинома Ньютона).

Формулу для определения вероятности легко обобщить на любое количество n и k . В итоге формула биномиального распределения имеет следующий вид.

Словами: количество подходящих под условие комбинаций умножить на вероятность одной из них.

Для практического использования достаточно просто знать формулу биномиального распределения. А можно даже и не знать – ниже показано, как определить вероятность с помощью Excel. Но лучше все-таки знать.

Рассчитаем по этой формуле вероятность выпадения 40 орлов при 100 бросках:

Или всего 1,08%. Для сравнения вероятность наступления математического ожидания этого эксперимента, то есть 50 орлов, равна 7,96%. Максимальная вероятность биномиальной величины принадлежит значению, соответствующему математическому ожиданию.

Расчет вероятностей биномиального распределения в Excel

Если использовать только бумагу и калькулятор, то расчеты по формуле биноминального распределения, несмотря на отсутствие интегралов, даются довольно тяжело. К примеру значение 100! – имеет более 150 знаков. Вручную рассчитать такое невозможно. Раньше, да и сейчас тоже, для вычисления подобных величин использовали приближенные формулы. В настоящий момент целесообразно использовать специальное ПО, типа MS Excel. Таким образом, любой пользователь (даже гуманитарий по образованию) вполне может вычислить вероятность значения биномиально распределенной случайной величины.

Для закрепления материала задействуем Excel пока в качестве обычного калькулятора, т.е. произведем поэтапное вычисление по формуле биномиального распределения. Рассчитаем, например, вероятность выпадения 50 орлов. Ниже приведена картинка с этапами вычислений и конечным результатом.

Как видно, промежуточные результаты имеют такой масштаб, что не помещаются в ячейку, хотя везде и используются простые функции типа: ФАКТР (вычисление факториала), СТЕПЕНЬ (возведение числа в степень), а также операторы умножения и деления. Более того, этот расчет довольно громоздок, во всяком случаен не является компактным, т.к. задействовано много ячеек. Да и разобраться с ходу трудновато.

В общем в Excel предусмотрена готовая функция для вычисления вероятностей биномиального распределения. Функция называется БИНОМ.РАСП.

Число успехов – количество успешных испытаний. У нас их 50.

Число испытаний – количество подбрасываний: 100 раз.

Вероятность успеха – вероятность выпадения орла при одном подбрасывании 0,5.

Интегральная – указывается либо 1, либо 0. Если 0, то рассчитается вероятность P(B=k) ; если 1, то рассчитается функция биномиального распределения, т.е. сумма всех вероятностей от B=0 до B=k включительно.

Нажимаем ОК и получаем тот же результат, что и выше, только все рассчиталось одной функцией.

Очень удобно. Эксперимента ради вместо последнего параметра 0 поставим 1. Получим 0,5398. Это значит, что при 100 подкидываниях монеты вероятность выпадения орлов в количестве от 0 до 50 равна почти 54%. А поначалу то казалось, что должно быть 50%. В общем, расчеты производятся легко и быстро.

Настоящий аналитик должен понимать, как ведет себя функция (каково ее распределение), поэтому произведем расчет вероятностей для всех значений от 0 до 100. То есть зададимся вопросом: какова вероятность, что не выпадет ни одного орла, что выпадет 1 орел, 2, 3, 50, 90 или 100. Расчет приведен в нижеследующей самодвигающейся картинке. Синяя линия – само биномиальное распределение, красная точка – вероятность для конкретного числа успехов k.

Кто-то может спросить, а не похоже ли биномиальное распределение на… Да, очень похоже. Еще Муавр (в 1733 г.) говорил, что биномиальное распределение при больших выборках приближается к (не знаю, как это тогда называлось), но его никто не слушал. Только Гаусс, а затем и Лаплас через 60-70 лет вновь открыли и тщательно изучили нормальной закон распределения. На графике выше отлично видно, что максимальная вероятность приходится на математическое ожидание, а по мере отклонения от него, резко снижается. Также, как и у нормального закона.

Биномиальное распределение имеет большое практическое значение, встречается довольно часто. С помощью Excel расчеты проводятся легко и быстро. Так что можно смело использовать.

На этом предлагаю распрощаться до следующей встречи. Всех благ, будьте здоровы!

Распределения вероятностей дискретных случайных величин. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Геометрическое распределение. Производящая функция.

6. Распределения вероятностей дискретных случайных величин

6.1. Биномиальное распределение

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может либо появится, либо не появится. Вероятность p появления события A во всех испытаниях постоянна и не изменяется от испытания к испытанию. Рассмотрим в качестве случайной величины X число появлений события A в этих испытаниях. Формула, позволяющая найти вероятность появления события A ровно k раз в n испытаниях, как известно, описывается формулой Бернулли

Распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли, называется биномиальным .

Этот закон назван "биномиальным" потому, что правую часть можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона

Запишем биномиальный закон в виде таблицы

Найдем числовые характеристики этого распределения.

По определению математического ожидания для ДСВ имеем

.

Запишем равенство, являющееся бином Ньютона

.

и продифференцируем его по p. В результате получим

.

Умножим левую и правую часть на p :

.

Учитывая, что p + q =1, имеем

(6.2)

Итак, математическое ожидание числа появлений событий в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний n на вероятность p появления события в каждом испытании .

Дисперсию вычислим по формуле

.

Для этого найдем

.

Предварительно продифференцируем формулу бинома Ньютона два раза по p :

и умножим обе части равенства на p 2:

Следовательно,

Итак, дисперсия биномиального распределения равна

. (6.3)

Данные результаты можно получить и из чисто качественных рассуждений. Общее число X появлений события A во всех испытаниях складываются из числа появлений события в отдельных испытаниях. Поэтому если X 1 – число появлений события в первом испытании, X 2 – во втором и т.д., то общее число появлений события A во всех испытаниях равно X=X 1 +X 2 +…+X n . По свойству математического ожидания:

Каждое из слагаемых правой части равенства есть математическое ожидание числа событий в одном испытании, которое равно вероятности события. Таким образом,

По свойству дисперсии:

Так как , а математическое ожидание случайной величины, которое может принимать только два значения, а именно 1 2 с вероятностью p и 0 2 с вероятностью q , то
. Таким образом,
В результате, получаем

Воспользовавшись понятием начальных и центральных моментов, можно получить формулы для асимметрии и эксцесса:

. (6.4)

Рис. 6.1

Число m 0 наступлений события называется наивероятнейшим , если вероятность наступления события данное число раз в этой серии испытаний наибольшая (максимум в многоугольнике распределения) . Для биномиального распределения

Замечание. Данное неравенство можно доказать, используя рекуррентную формулу для биномиальных вероятностей:

(6.6)

Пример 6.1. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 31%. Чему равно математического ожидание и дисперсия, также наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 75 изделий?

Решение. Поскольку p =0,31, q =0,69, n =75, то

M[X ] = np = 750,31 = 23,25; D[X ] = npq = 750,310,69 = 16,04.

Для нахождения наивероятнейшего числа m 0 , составим двойное неравенство

Отсюда следует, что m 0 = 23.

В классических учебниках по статистике для получения значений биномиального распределения часто рекомендуют использовать формулы, основанные на предельных теоремах (типа формулы Муавра-Лапласа). Необходимо отметить, что с чисто вычислительной точки зрения ценность этих теорем близка к нулю, особенно сейчас, когда практически на каждом столе стоит мощный компьютер. Основной недостаток приведенных аппроксимаций – их совершенно недостаточная точность при значениях n, характерных для большинства приложений. Не меньшим недостатком является и отсутствие сколько-нибудь четких рекомендаций о применимости той или иной аппроксимации (в стандартных текстах приводятся лишь асимптотические формулировки, они не сопровождаются оценками точности и, следовательно, мало полезны). Я бы сказал, что обе формулы пригодны лишь при n < 200 и для совсем грубых, ориентировочных расчетов, причем делаемых “вручную” с помощью статистических таблиц. А вот связь между биномиальным распределением и бета-распределением позволяет вычислять биномиальное распределение достаточно экономно.

Я не рассматриваю здесь задачу поиска квантилей: для дискретных распределений она тривиальна, а в тех задачах, где такие распределения возникают, она, как правило, и не актуальна. Если же квантили все-таки понадобятся, рекомендую так переформулировать задачу, чтобы работать с p-значениями (наблюденными значимостями). Вот пример: при реализации некоторых переборных алгоритмов на каждом шаге требуется проверять статистическую гипотезу о биномиальной случайной величине. Согласно классическому подходу на каждом шаге нужно вычислить статистику критерия и сравнить ее значение с границей критического множества. Поскольку, однако, алгоритм переборный, приходится определять границу критического множества каждый раз заново (ведь от шага к шагу объем выборки меняется), что непроизводительно увеличивает временные затраты. Современный подход рекомендует вычислять наблюденную значимость и сравнивать ее с доверительной вероятностью, экономя на поиске квантилей.

Поэтому в приводимых ниже кодах отсутствует вычисление обратной функции, взамен приведена функция rev_binomialDF , которая вычисляет вероятность p успеха в отдельном испытании по заданному количеству n испытаний, числу m успехов в них и значению y вероятности получить эти m успехов. При этом используется вышеупомянутая связь между биномиальным и бета распределениями.

Фактически, эта функция позволяет получать границы доверительных интервалов. В самом деле, предположим, что в n биномиальных испытаниях мы получили m успехов. Как известно, левая граница двухстороннего доверительного интервала для параметра p с доверительным уровнем равна 0, если m = 0, а для является решением уравнения . Аналогично, правая граница равна 1, если m = n, а для является решением уравнения . Отсюда вытекает, что для поиска левой границы мы должны решать относительно уравнение , а для поиска правой – уравнение . Они и решаются в функциях binom_leftCI и binom_rightCI , возвращающих верхнюю и нижнюю границы двустороннего доверительного интервала соответственно.

Хочу заметить, что если не нужна совсем уж неимоверная точность, то при достаточно больших n можно воспользоваться следующей аппроксимацией [Б.Л. ван дер Варден, Математическая статистика. М: ИЛ, 1960, гл. 2, разд. 7]: , где g – квантиль нормального распределения. Ценность этой аппроксимации в том, что имеются очень простые приближения, позволяющие вычислять квантили нормального распределения (см. текст о вычислении нормального распределения и соответствующий раздел данного справочника). В моей практике (в основном, при n > 100) эта аппроксимация давала примерно 3-4 знака, чего, как правило, вполне достаточно.

Для вычислений с помощью нижеследующих кодов потребуются файлы betaDF.h , betaDF.cpp (см. раздел о бета-распределении), а также logGamma.h , logGamma.cpp (см. приложение А). Вы можете посмотреть также пример использования функций.

Файл binomialDF.h

Файл binomialDF.cpp