Анализ случайных погрешностей основывается на теории случайных ошибок, дающей возможность с определенной гарантией вычислить действительное значение измеренной величины и оценить возможные ошибки.

Основу теории случайных ошибок составляют следующие предположения:

при большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто;

большие погрешности встречаются реже, чем малые (вероятность появления погрешности уменьшается с ростом ее величины);

при бесконечно большом числе измерении истинное значение измеряемой величины равно среднеарифметическому значению всех результатов измерений;

появление того или иного результата измерения как случайного события описывается нормальным законом распределения.

На практике различают генеральную и выборочную совокупность измерений.

Под генеральной совокупностью подразумевают все множество возможных значений измерений или возможных значений погрешностей
.

Для выборочной совокупности число измерений ограничено, и в каждом конкретном случае строго определяется. Считают, что, если
, то среднее значение данной совокупности измеренийдостаточно приближается к его истинному значению.

1. Интервальная оценка с помощью доверительной вероятности

Для большой выборки и нормального закона распределения общей оценочной характеристикой измерения являются дисперсия
и коэффициент вариации:

;
. (1.1)

Дисперсия характеризует однородность измерения. Чем выше
, тем больше разброс измерений.

Коэффициент вариации характеризует изменчивость. Чем выше , тем больше изменчивость измерений относительно средних значений.

Для оценки достоверности результатов измерений вводятся в рассмотрение понятия доверительного интервала и доверительной вероятности.

Доверительным называется интервал значений , в который попадает истинное значение измеряемой величины с заданной вероятностью.

Доверительной вероятностью (достоверностью) измерения называется вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал, т.е. в зону
. Эта величина определяется в долях единицы или в процентах

,

где
- интегральная функция Лапласа (табл.1.1 )

Интегральная функция Лапласа определяется следующим выражением:

.

Аргументом этой функции является гарантийный коэффициент :

Таблица 1.1

Интегральная функция Лапласа

Если же на основе определенных данных установлена доверительная вероятность (часто ее принимают равной
), то устанавливаетсяточность измерений (доверительный интервал
) на основе соотношения

.

Половина доверительного интервала равна

, (1.3)

где
- аргумент функции Лапласа, если
(табл.1.1 );

- функции Стьюдента, если
(табл.1.2 ).

Таким образом, доверительный интервал характеризует точность измерения данной выборки, а доверительная вероятность - достоверность измерения.

Пример

Выполнено
измерений прочности дорожного покрытия участка автомобильной дороги при среднем модуле упругости
и вычисленном значении среднеквадратического отклонения
.

Необходимо определить требуемую точность измерений для разных уровней доверительной вероятности
, приняв значения потабл.1.1 .

В этом случае соответственно |

Следовательно, для данного средства и метода измерений доверительный интервал возрастает примерно в раза, если увеличитьтолько на
.

Ум заключается не только в знании, но и в умении прилагать знание на деле. (Аристотель)

Доверительные интервалы

Общий обзор

Взяв выборку из популяции, мы получим точечную оценку интересующего нас параметра и вычислим стандартную ошибку для того, чтобы указать точность оценки.

Однако, для большинства случаев стандартная ошибка как такова не приемлема. Гораздо полезнее объединить эту меру точности с интервальной оценкой для параметра популяции.

Это можно сделать, используя знания о теоретическом распределении вероятности выборочной статистики (параметра) для того, чтобы вычислить доверительный интервал (CI - Confidence Interval, ДИ - Доверительный интервал) для параметра.

Вообще, доверительный интервал расширяет оценки в обе стороны некоторой величиной, кратной стандартной ошибке (данного параметра); два значения (доверительные границы), определяющие интервал, обычно отделяют запятой и заключают в скобки.

Доверительный интервал для среднего

Использование нормального распределения

Выборочное среднее имеет нормальное распределение, если объем выборки большой, поэтому можно применить знания о нормальном распределении при рассмотрении выборочного среднего.

В частности, 95% распределения выборочных средних находится в пределах 1,96 стандартных отклонений (SD) среднего популяции.

Когда у нас есть только одна выборка, мы называем это стандартной ошибкой среднего (SEM) и вычисляем 95% доверительного интервала для среднего следующим образом:

Если повторить этот эксперимент несколько раз, то интервал будет содержать истинное среднее популяции в 95% случаев.

Обычно это доверительный интервал как, например, интервал значений, в пределах которого с доверительной вероятностью 95% находится истинное среднее популяции (генеральное среднее).

Хотя это не вполне строго (среднее в популяции есть фиксированное значение и поэтому не может иметь вероятность, отнесённую к нему) таким образом интерпретировать доверительный интервал, но концептуально это удобнее для понимания.

Использование t- распределения

Можно использовать нормальное распределение, если знать значение дисперсии в популяции. Кроме того, когда объем выборки небольшой, выборочное среднее отвечает нормальному распределению, если данные, лежащие в основе популяции, распределены нормально.

Если данные, лежащие в основе популяции, распределены ненормально и/или неизвестна генеральная дисперсия (дисперсия в популяции), выборочное среднее подчиняется t-распределению Стьюдента .

Вычисляем 95% доверительный интервал для генерального среднего в популяции следующим образом:

Где - процентная точка (процентиль) t- распределения Стьюдента с (n-1) степенями свободы, которая даёт двухстороннюю вероятность 0,05.

Вообще, она обеспечивает более широкий интервал, чем при использовании нормального распределения, поскольку учитывает дополнительную неопределенность, которую вводят, оценивая стандартное отклонение популяции и/или из-за небольшого объёма выборки.

Когда объём выборки большой (порядка 100 и более), разница между двумя распределениями (t-Стьюдента и нормальным) незначительна. Тем не менее всегда используют t- распределение при вычислении доверительных интервалов, даже если объем выборки большой.

Обычно указывают 95% ДИ. Можно вычислить другие доверительные интервалы, например 99% ДИ для среднего.

Вместо произведения стандартной ошибки и табличного значения t- распределения, которое соответствует двусторонней вероятности 0,05, умножают её (стандартную ошибку) на значение, которое соответствует двусторонней вероятности 0,01. Это более широкий доверительный интервал, чем в случае 95%, поскольку он отражает увеличенное доверие к тому, что интервал действительно включает среднее популяции.

Доверительный интервал для пропорции

Выборочное распределение пропорций имеет биномиальное распределение. Однако если объём выборки n разумно большой, тогда выборочное распределение пропорции приблизительно нормально со средним .

Оцениваем выборочным отношением p=r/n (где r - количество индивидуумов в выборке с интересующими нас характерными особенностями), и стандартная ошибка оценивается:

95% доверительный интервал для пропорции оценивается:

Если объём выборки небольшой (обычно когда np или n(1-p) меньше 5 ), тогда необходимо использовать биномиальное распределение для того, чтобы вычислить точные доверительные интервалы.

Заметьте, что если p выражается в процентах, то (1-p) заменяют на (100-p) .

Интерпретация доверительных интервалов

При интерпретации доверительного интервала нас интересуют следующие вопросы:

Насколько широк доверительный интервал?

Широкий доверительный интервал указывает на то, что оценка неточна; узкий указывает на точную оценку.

Ширина доверительного интервала зависит от размера стандартной ошибки, которая, в свою очередь, зависит от объёма выборки и при рассмотрении числовой переменной от изменчивости данных дают более широкие доверительные интервалы, чем исследования многочисленного набора данных немногих переменных.

Включает ли ДИ какие-либо значения, представляющие особенный интерес?

Можно проверить, ложится ли вероятное значение для параметра популяции в пределы доверительного интервала. Если да, то результаты согласуются с этим вероятным значением. Если нет, тогда маловероятно (для 95% доверительного интервала шанс почти 5%), что параметр имеет это значение.

В статистике существует два вида оценок: точечные и интервальные. Точечная оценка представляет собой отдельную выборочную статистику, которая используется для оценки параметра генеральной совокупности. Например, выборочное среднее - это точечная оценка математического ожидания генеральной совокупности, а выборочная дисперсия S 2 - точечная оценка дисперсии генеральной совокупности σ 2 . было показано, что выборочное среднее является несмещенной оценкой математического ожидания генеральной совокупности. Выборочное среднее называется несмещенным, поскольку среднее значение всех выборочных средних (при одном и том же объеме выборки n ) равно математическому ожиданию генеральной совокупности.

Для того чтобы выборочная дисперсия S 2 стала несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности σ 2 , знаменатель выборочной дисперсии следует положить равным n – 1 , а не n . Иначе говоря, дисперсия генеральной совокупности является средним значением всевозможных выборочных дисперсий.

При оценке параметров генеральной совокупности следует иметь в виду, что выборочные статистики, такие как , зависят от конкретных выборок. Чтобы учесть этот факт, для получения интервальной оценки математического ожидания генеральной совокупности анализируют распределение выборочных средних (подробнее см. ). Построенный интервал характеризуется определенным доверительным уровнем, который представляет собой вероятность того, что истинный параметр генеральной совокупности оценен правильно. Аналогичные доверительные интервалы можно применять для оценки доли признака р и основной распределенной массы генеральной совокупности.

Скачать заметку в формате или , примеры в формате

Построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности при известном стандартном отклонении

Построение доверительного интервала для доли признака в генеральной совокупности

В этом разделе понятие доверительного интервала распространяется на категорийные данные. Это позволяет оценить долю признака в генеральной совокупности р с помощью выборочной доли р S = Х/ n . Как указывалось , если величины n р и n (1 – р) превышают число 5, биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным. Следовательно, для оценки доли признака в генеральной совокупности р можно построить интервал, доверительный уровень которого равен (1 – α)х100% .

где p S - выборочная доля признака, равная Х/ n , т.е. количеству успехов, деленному на объем выборки, р - доля признака в генеральной совокупности, Z - критическое значение стандартизованного нормального распределения, n - объем выборки.

Пример 3. Предположим, что из информационной системы извлечена выборка, состоящая из 100 накладных, заполненных в течение последнего месяца. Допустим, что 10 из этих накладных составлены с ошибками. Таким образом, р = 10/100 = 0,1. Доверительному уровню 95% соответствует критическое значение Z = 1,96.

Таким образом, вероятность того, что от 4,12% до 15,88% накладных содержат ошибки, равна 95%.

Для заданного объема выборки доверительный интервал, содержащий долю признака в генеральной совокупности, кажется более широким, чем для непрерывной случайной величины. Это объясняется тем, что измерения непрерывной случайной величины содержат больше информации, чем измерения категорийных данных. Иначе говоря, категорийные данные, принимающие лишь два значения, содержат недостаточно информации для оценки параметров их распределения.

В ычисление оценок, извлеченных из конечной генеральной совокупности

Оценка математического ожидания. Поправочный коэффициент для конечной генеральной совокупности (fpc ) использовался для уменьшения стандартной ошибки в раз. При вычислении доверительных интервалов для оценок параметров генеральной совокупности поправочный коэффициент применяется в ситуациях, когда выборки извлекаются без возвращения. Таким образом, доверительный интервал для математического ожидания, имеющий доверительный уровень, равный (1 – α)х100% , вычисляется по формуле:

Пример 4. Чтобы проиллюстрировать применение поправочного коэффициента для конечной генеральной совокупности, вернемся к задаче о вычислении доверительного интервала для средней суммы накладных, рассмотренной выше в примере 3. Предположим, что за месяц в компании выписываются 5000 накладных, причем X̅ =110,27долл., S = 28,95 долл., N = 5000, n = 100, α = 0,05, t 99 = 1,9842. По формуле (6) получаем:

Оценка доли признака. При выборе без возвращения доверительный интервал для доли признака, имеющий доверительный уровень, равный (1 – α)х100% , вычисляется по формуле:

Доверительные интервалы и этические проблемы

При выборочном исследовании генеральной совокупности и формулировании статистических выводов часто возникают этические проблемы. Основная из них - как согласуются доверительные интервалы и точечные оценки выборочных статистик. Публикация точечных оценок без указания соответствующих доверительных интервалов (как правило, имеющих 95%-ный доверительный уровень) и объема выборки, на основе которых они получены, может породить недоразумения. Это может создать у пользователя впечатление, что точечная оценка - именно то, что ему необходимо, чтобы предсказать свойства всей генеральной совокупности. Таким образом, необходимо понимать, что в любых исследованиях во главу угла должны быть поставлены не точечные, а интервальные оценки. Кроме того, особое внимание следует уделять правильному выбору объемов выборки.

Чаще всего объектами статистических манипуляций становятся результаты социологических опросов населения по тем или иным политическим проблемам. При этом результаты опроса выносят на первые страницы газет, а ошибку выборочного исследования и методологию статистического анализа печатают где-нибудь в середине. Чтобы доказать обоснованность полученных точечных оценок, необходимо указывать объем выборки, на основе которой они получены, границы доверительного интервала и его уровень значимости.

Следующая заметка

Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 448–462

Центральная предельная теорема утверждает, что при достаточно большом объеме выборок выборочное распределение средних можно аппроксимировать нормальным распределением. Это свойство не зависит от вида распределения генеральной совокупности.

Доверительный интервал

Доверительный интервал - термин, используемый в математической статистике при интервальной (в отличие от точечной) оценке статистических параметров, что предпочтительнее при небольшом объёме выборки. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.

Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ежи Нейман , исходя из идей английского статистика Рональда Фишера .

Определение

Доверительным интервалом параметра θ распределения случайной величины X с уровнем доверия 100p% , порождённым выборкой (x 1 ,…,x n), называется интервал с границами (x 1 ,…,x n) и (x 1 ,…,x n), которые являются реализациями случайных величин L (X 1 ,…,X n) и U (X 1 ,…,X n), таких, что

Граничные точки доверительного интервала и называются доверительными пределами .

Интерпретация доверительного интервала, основанная на интуиции, будет следующей: если p велико (скажем, 0,95 или 0,99), то доверительный интервал почти наверняка содержит истинное значение θ .

Еще одно истолкование понятию доверительного интервала: его можно рассматривать как интервал значений параметра θ , совместимых с опытными данными и не противоречащих им.

Примеры

• Доверительный интервал для математического ожидания нормальной выборки ;
• Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки .

Байесовский доверительный интервал

В байесовской статистике существует схожее, но отличающееся в некоторых ключевых деталях определение доверительного интервала. Здесь оцениваемый параметр сам считается случайной величиной с некоторым заданным априорным распределением (в простейшем случае - равномерным), а выборка фиксирована (в классической статистике всё в точности наоборот). Байесовский -доверительным интервал - это интервал , покрывающий значение параметра с апостериорной вероятностью :

Как правило, классический и байесовский доверительные интервалы различаются. В англоязычной литературе байесовский доверительный интервал принято называть термином credible interval , а классический - confidence interval .

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Детки (фильм)
• Колонист

Смотреть что такое "Доверительный интервал" в других словарях:

Доверительный интервал - интервал, вычисленный по выборочным данным, который с заданной вероятностью (доверительной) накрывает неизвестное истинное значение оцениваемого параметра распределения. Источник: ГОСТ 20522 96: Грунты. Методы статистической обработки результатов … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

доверительный интервал - для скалярного параметра генеральной совокупности – это отрезок, с большой вероятностью содержащий этот параметр. Эта фраза без дальнейших уточнений бессмысленна. Поскольку границы доверительного интервала оцениваются по выборке, естественна его… … Словарь социологической статистики

ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ - метод оценивания параметров, отличающийся от точечного оценивания. Пусть задана выборка x1, . . ., хn из распределения с плотностью вероятности f(x, α), и а*=а*(x1, . . ., хn) оценка α, g(a*, α) плотность вероятности оценки. Ищем… … Геологическая энциклопедия

ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ - (confidence interval) Интервал, в котором достоверность значения параметра по населению, полученного на основе выборочного обследования, имеет определенную степень вероятности, например 95%, что обусловлено самой выборкой (sample). Ширина… … Экономический словарь

доверительный интервал - – интервал, в котором находится истинное значение определяемой величины с заданной доверительной вероятностью. Общая химия: учебник / А. В. Жолнин … Химические термины

Доверительный интервал ДИ - Доверительный интервал, ДИ * давяральны інтэрвал, ДІ * confidence interval интервал значения признака, рассчитанный для к. л. параметра распределения (напр., среднего значения признака) по выборке и с определенной вероятностью (напр., 95% для 95% … Генетика. Энциклопедический словарь

ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ - понятие, возникающее при оценке параметра статистич. распределения интервалом значений. Д. и. для параметра q, соответствующий данному коэф. доверия Р, равен такому интервалу (q1, q2), что при любом распределении вероятности неравенства… … Физическая энциклопедия

доверительный интервал - — Тематики электросвязь, основные понятия EN confidence interval … Справочник технического переводчика

доверительный интервал - pasikliovimo intervalas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultato vertė. atitikmenys: angl. confidence interval vok. Vertrauensbereich, m rus.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

доверительный интервал - pasikliovimo intervalas statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultatų vertė. atitikmenys: angl. confidence interval rus. доверительная область; доверительный интервал … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

Оценка доверительных интервалов

Статистика рассматривает следующие две основные задачи :

У нас есть некоторая оценка, построенная на выборочных данных, и мы хотим сделать некоторое вероятностное утверждение относительно того, где находится истинное значение оцениваемого параметра.

У нас есть конкретная гипотеза, которую необходимо проверить на основе выборочных данных.

В данной теме мы рассматриваем первую задачу. Введем также определение доверительного интервала.

Изучив материал данной темы, Вы:

узнаете, что такое доверительный интервал оценки;

научитесь классифицировать статистические задачи;

освоите технику построения доверительных интервалов, как по статистическим формулам, так и с помощью программного инструментария;

научитесь определять необходимые размеры выборок для достижения определенных параметров точности статистических оценок.

Распределения выборочных характеристик

Как обсуждали выше распределение случайной величины близко к стандартизованному нормальному распределению с параметрами 0 и 1. Поскольку нам не известна величина σ, мы заменяем ее на некоторую оценку s . Величина уже имеет другое распределение, а именно или Распределение Стьюдента , которое определяется параметром n -1 (число степеней свободы). Это распределение близко к нормальному распределению (чем больше n , тем распределения ближе).

На рис. 95
представлено распределение Стьюдента с 30 степенями свободы. Как видно, оно весьма близко к нормальному распределению.

Аналогично функциям для работы с нормальным распределением НОРМРАСП и НОРМОБР имеются функции для работы с t-распределением - СТЬЮДРАСП (TDIST) и СТЬЮДРАСПОБР (TINV) . Пример использования этих функций можно посмотреть в файле СТЬЮДРАСП.XLS (шаблон и решение ) и на рис. 96
.

Как мы уже знаем, для определения точности оценивания математического ожидания нам необходимо t-распределение. Для оценивания других параметров, например, дисперсии, требуются другие распределения. Два из них - это F-распределение и x 2 -распределение .

Доверительный интервал для среднего значения

Доверительный интервал - это интервал, который строится вокруг оценочного значения параметра и показывает, где находится истинное значение оцениваемого параметра с априори заданной вероятностью.

Построение доверительного интервала для среднего значения происходит следующим образом :

Пример

В ресторане быстрого обслуживания планируется расширить ассортимент новым видом сэндвича. Для того чтобы оценить спрос на него, менеджер случайным образом планирует выбрать 40 посетителей из тех, кто уже попробовал его и предложить им оценить их отношение к новому продукту в баллах от 1 до 10. Менеджер хочет оценить ожидаемое количество баллов, которое получит новый продукт и построить 95%-й доверительный интервал этой оценки. Как это осуществить? (см. файл СЭНДВИЧ1.XLS (шаблон и решение ).

Решение

Для решения данной задачи можно воспользоваться . Результаты представлены на рис. 97
.

Доверительный интервал для суммарного значения

Иногда по выборочным данным требуется оценить не математическое ожидание, а общую сумму значений. Например, в ситуации с аудитором интерес может представлять оценка не средней величины счета, а суммы всех счетов.

Пусть N - общее количество элементов, n - размер выборки, T 3 - сумма значений в выборке, T" - оценка для суммы по всей совокупности, тогда , а доверительный интервал вычисляется по формуле , где s - оценка стандартного отклонения для выборки, - оценка среднего для выборки.

Пример

Допустим, некоторая налоговая служба хочет оценить размер суммарных налоговых возвратов для 10 000 налогоплательщиков. Налогоплательщик либо получает возврат, либо доплачивает налоги. Найдите 95%-й доверительный интервал для суммы возврата при условии, что размер выборки составляет 500 человек (см. файл СУММА ВОЗВРАТОВ.XLS (шаблон и решение ).

Решение

В StatPro нет специальной процедуры для этого случая, однако можно заметить, что границы можно получить из границ для среднего исходя из вышеприведенных формул (рис. 98
).

Доверительный интервал для пропорции

Пусть p - математическое ожидание доли клиентов, а р в - оценка этой доли, полученная по выборке размера n. Можно показать, что для достаточно больших распределение оценки будет близко к нормальному с математическим ожиданием p и стандартным отклонением . Стандартная ошибка оценки в данном случае выражается как , а доверительный интервал как .

Пример

В ресторане быстрого обслуживания планируется расширить ассортимент новым видом сэндвича. Для того чтобы оценить спрос на него, менеджер случайным образом выбрал 40 посетителей из тех, кто уже попробовал его и предложил им оценить их отношение к новому продукту в баллах от 1 до 10. Менеджер хочет оценить ожидаемую долю клиентов, которые оценивают новый продукт не менее чем в 6 баллов (он ожидает, что именно эти клиенты и будут потребителями нового продукта).

Решение

Первоначально создаем новый столбец по признаку 1, если оценка клиента была больше 6 баллов и 0 иначе (см. файл СЭНДВИЧ2.XLS (шаблон и решение ).

Способ 1

Подсчитывая количество 1, оцениваем долю, а далее используем формулы.

Значение z кр берется из специальных таблиц нормального распределения (например, 1,96 для 95%-го доверительного интервала).

Используя данный подход и конкретные данные для построения 95%-го интервала, получим следующие результаты (рис. 99
). Критическое значение параметра z кр равно 1,96. Стандартная ошибка оценки - 0,077. Нижняя граница доверительного интервала - 0,475. Верхняя граница доверительного интервала - 0,775. Таким образом, менеджер вправе полагать с 95%-й долей уверенности, что процент клиентов, оценивших новый продукт на 6 баллов и выше, будет между 47,5 и 77,5.

Способ 2

Данная задача допускает решение стандартными средствами StatPro . Для этого достаточно заметить, что доля в данном случае совпадает со средним значением столбца Тип . Далее применим StatPro/Statistical Inference/One-Sample Analysis для построения доверительного интервала среднего значения (оценки математического ожидания) для столбца Тип . Полученные в этом случае результат, будут весьма близок к результату 1-го способа (рис. 99).

Доверительный интервал для стандартного отклонения

В качестве оценки стандартного отклонения используется s (формула приведена в разделе 1). Функцией плотности распределения оценки s является функция хи-квадрат , которая, как и t-распределение, имеет n-1 степень свободы. Имеются специальные функции для работы с этим распределением ХИ2РАСП (CHIDIST) и ХИ2ОБР (CHIINV) .

Доверительный интервал в этом случае уже будет не симметричным. Условная схема границ представлена на рис. 100 .

Пример

Станок должен производить детали диаметром 10 см. Однако в силу различных обстоятельств происходят ошибки. Контролера по качеству волнуют два обстоятельства: во-первых, среднее значение должно равняться 10 см; во-вторых, даже в этом случае, если отклонения будут велики, то многие детали будут забракованы. Ежедневно он делает выборку из 50 деталей (см. файл КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА.XLS (шаблон и решение ). Какие выводы может дать такая выборка?

Решение

Построим 95%-й доверительные интервалы для среднего и для стандартного отклонения с помощью StatPro/Statistical Inference/ One-Sample Analysis (рис. 101
).

Далее, используя предположение о нормальном распределении диаметров, рассчитаем долю бракованных изделий, задавшись предельным отклонением 0,065. Используя возможности таблицы подстановки (случай двух параметров), построим зависимость доли брака от среднего значения и стандартного отклонения (рис. 102
).

Доверительный интервал для разности двух средних значений

Это одно из наиболее важных применений статистических методов. Примеры ситуаций.

Менеджер магазина одежды хотел бы знать, на сколько больше или меньше тратит в магазине средняя женщина-покупатель, чем мужчина.

Две авиакомпании летают аналогичными маршрутами. Организация-потребитель хотела бы сравнить разницу между среднеожидаемыми временами задержек рейсов по обеим авиакомпаниям.

Компания рассылает купоны на отдельные виды товаров в одном городе и не рассылает в другом. Менеджеры хотят сравнить средние объемы покупок этих товаров в ближайшие два месяца.

Автомобильный дилер часто имеет дело на презентациях с замужними парами. Чтобы понять их персональную реакцию на презентацию, пары часто опрашивают отдельно. Менеджер хочет оценить разницу в рейтингах указываемых мужчинами и женщинами.

Случай независимых выборок

Разность средних значений будет иметь t-распределение с n 1 + n 2 - 2 степенями свободы. Доверительный интервал для μ 1 - μ 2 выражается соотношением:

Данная задача допускает решение не только по вышеприведенным формулам, но и стандартными средствами StatPro . Для этого достаточно применить

Доверительный интервал для разности между пропорциями

Пусть - математическое ожидание долей. Пусть - их выборочные оценки, построенные по выборкам размера n 1 и n 2 соответственно. Тогда является оценкой для разности . Следовательно, доверительный интервал этой разности выражается как:

Здесь z кр является значением, полученным из нормального распределения по специальным таблицам (например, 1,96 для 95%-й доверительного интервала).

Стандартная ошибка оценки выражается в данном случае соотношением:

.

Пример

Магазин, готовясь к большой распродаже, предпринял следующие маркетинговые исследования. Были выбраны 300 лучших покупателей, которые в свою очередь были случайным образом поделены на две группы по 150 членов в каждой. Всем из отобранных покупателей были разосланы приглашения для участия в распродаже, но только для членов первой группы был приложен купон, дающий право на скидку 5%. В ходе распродажи покупки всех 300 отобранных покупателей фиксировались. Каким образом менеджер может интерпретировать полученные результаты и сделать заключение об эффективности предоставления купонов? (см. файл КУПОНЫ.XLS (шаблон и решение )).

Решение

Для нашего конкретного случая из 150 покупателей, получивших купон на скидку, 55 сделали покупку на распродаже, а среди 150, не получивших купон, покупку сделали только 35 (рис. 103
). Тогда значения выборочных пропорций соответственно 0,3667 и 0,2333. А выборочная разность между ними равна соответственно 0,1333. Полагая доверительный интервал 95%-м, находим по таблице нормального распределения z кр = 1,96. Вычисление стандартной ошибки выборочной разности равно 0,0524. Окончательно получаем, что нижняя граница 95%-го доверительного интервала равна 0,0307, а верхняя граница 0,2359 соответственно. Полученные результаты можно интерпретировать таким образом, что на каждых 100 покупателей, получивших купон со скидкой, можно ожидать от 3 до 23 новых покупателей. Однако надо иметь в виду, что этот вывод сам по себе еще не означает эффективности применения купонов (поскольку, предоставляя скидку, мы теряем в прибыли!). Продемонстрируем это на конкретных данных. Предположим, что средний размер покупки равен 400 руб., из которых 50 руб. есть прибыль магазина. Тогда ожидаемая прибыль на 100 покупателях, не получивших купон, равна:

50 0,2333 100 = 1166,50 руб.

Аналогичные вычисления для 100 покупателей получивших купон, дают:

30 0,3667 100 = 1100,10 руб.

Уменьшение средней прибыли до 30 объясняется тем, что, используя скидку, покупатели, получившие купон, в среднем будут делать покупку на 380 руб.

Таким образом, итоговый вывод говорит о неэффективности использования таких купонов в данной конкретной ситуации.

Замечание. Данная задача допускает решение стандартными средствами StatPro . Для этого достаточно свести данную задачу к задаче оценки разности двух средних способом, а далее применить StatPro/Statistical Inference/Two-Sample Analysis для построения доверительного интервала разности двух средних значений.

Управление длиной доверительного интервала

Длина доверительного интервала зависит от следующих условий :

непосредственно данных (стандартное отклонение);

уровня значимости;

размера выборки.

Размер выборки для оценки среднего значения

Сначала рассмотрим задачу в общем случае. Обозначим данное нам значение половины длины доверительного интервала за В (рис. 104
). Нам известно, что доверительный интервал для среднего значения некоторой случайной величины X выражается как , где . Полагая:

и выражая n , получим .

К сожалению, точное значение дисперсии случайной величины X нам не известно. Кроме этого, нам неизвестно и значение t кр , так как оно зависит от n через количество степеней свободы. В данной ситуации мы можем поступить следующим образом. Вместо дисперсии s используем какую-либо оценку дисперсии, по каким-либо имеющимся реализациям исследуемой случайной величины. Вместо значения t кр используем значение z кр для нормального распределения. Это вполне допустимо, поскольку функции плотности распределений для нормального и t-распределения очень близки (за исключением случая малых n ). Таким образом, искомая формула принимает вид:

.

Поскольку формула дает, вообще говоря, нецелочисленные результат, в качестве искомого размера выборки берется округление с избытком результата.

Пример

В ресторане быстрого обслуживания планируется расширить ассортимент новым видом сэндвича. Для того чтобы оценить спрос на него, менеджер случайным образом планирует выбрать некоторое количество посетителей из тех, кто уже попробовал его, и предложить им оценить их отношение к новому продукту в баллах от 1 до 10. Менеджер хочет оценить ожидаемое количество баллов, которое получит новый продукт и построить 95%-й доверительный интервал этой оценки. При этом он хочет, чтобы половина ширины доверительного интервала не превышала 0,3. Какое количество посетителей ему необходимо опросить?

выглядит следующим образом:

Здесь р оц - оценка доли p , а В есть заданная половина длины доверительного интервала. Завышенное значение для n можно получить, используя значение р оц = 0,5. В этом случае длина доверительного интервала не будет превосходить заданного значения В при любом истинном значении p .

Пример

Пусть менеджер из предыдущего примера планирует оценить долю клиентов, отдавших предпочтение новому виду продукции. Он хочет построить 90%-й доверительный интервал, половина длины которого не превосходила бы 0,05. Сколько клиентов должно войти в случайную выборку?

Решение

В нашем случае значение z кр = 1,645. Поэтому искомое количество вычисляется как .

Если бы менеджер имел основания полагать, что искомое значение p составляет, например, примерно 0,3, то, подставляя это значение в вышеприведенную формулу, мы получили бы меньшее значение величины случайной выборки, а именно 228.

Формула для определения размеров случайной выборки в случае разности между двумя средними значениями записывается как:

.

Пример

Некоторая компьютерная компания имеет сервисный центр по обслуживанию клиентов. В последнее время увеличилось количество жалоб клиентов на плохое качество обслуживания. В сервисном центре в основном работают сотрудники двух типов: не имеющие большого опыта, но закончившие специальные подготовительные курсы, и имеющие большой практический опыт, но не закончившие специальных курсов. Компания хочет проанализировать нарекания клиентов за последние полгода и сравнить их средние количества, приходящиеся на каждую из двух групп сотрудников. Предполагается, что количества в выборках по обеим группам будут одинаковые. Какое количество сотрудников необходимо включить в выборку, чтобы получить 95%-й интервал с половиной длины не более 2?

Решение

Здесь σ оц есть оценка стандартного отклонения обеих случайных переменных в предположении, что они близки. Таким образом, в нашей задаче нам необходимо каким-то образом получить эту оценку. Это можно сделать, например, следующим образом. Просмотрев данные по нареканиям клиентов за последние полгода, менеджер может заметить, что на каждого сотрудника в основном приходится от 6 до 36 нареканий. Зная, что для нормального распределения практически все значения удалены от среднего значения не более чем на три стандартных отклонения, он может с определенным основанием полагать, что:

, откуда σ оц = 5.

Подставляя это значение в формулу, получаем .

Формула для определения размера случайной выборки в случае оценки разности между долями имеет вид:

Пример

Некоторая компания имеет две фабрики по производству аналогичной продукции. Менеджер компании хочет сравнить доли бракованной продукции на обеих фабриках. По имеющейся информации процент брака на обеих фабриках составляет от 3 до 5%. Предполагается построить 99%-й доверительный интервал с половиной длины не более 0,005 (или 0,5%). Какое количество изделий необходимо отобрать с каждой фабрики?

Решение

Здесь р 1оц и р 2оц являются оценками двух неизвестных долей брака на 1-й и 2-й фабрике. Если положить р 1оц = р 2оц = 0,5, то мы получим завышенное значение для n . Но поскольку в нашем случае мы имеем некоторую априорную информацию об этих долях, то мы берем верхнюю оценку этих долей, а именно 0,05. Получаем

Когда делается оценка некоторых параметров совокупности по выборочным данным, полезно дать не только точечную оценку параметра, но и указать доверительный интервал, который показывает, где может находиться точное значение оцениваемого параметра.

В данной главе мы также познакомились с количественными соотношениями, позволяющими строить такие интервалы для различных параметров; узнали способы управления длиной доверительного интервала.

Отметим также, что задачу оценки размеров выборки (задача планирования эксперимента) можно решить, используя стандартные средства StatPro , а именно StatPro/Statistical Inference/Sample Size Selection .