Теорема Стокса. Теорема д

Зная в каждой точкеS , можно найти циркуляцию поГ вокругS . РазобьемS на S :

и

- нормаль к элементу поверхности  S .

Пусть все  S  0 , тогда:

Теорема Стокса:

Циркуляции вектора по произвольному контуруГ равна потоку вектора
через произвольную поверхностьS , ограниченную данным контуром.

3.7 Циркуляция и ротор электростатического поля

Работа электростатических сил по любому замкнутому контуру равна нулю.

т.е. циркуляция электростатического поля по любому контуру равна нулю.

Возьмем любую поверхность S , опирающуюся на контурГ .

По теореме Стокса:

;

так как это для любой поверхности S , то

Существует тождество:

т.е. силовые линии электростатического поля не циркулируют в пространстве.

3.8 Теорема Гаусса

Найдем
электростатического поля. Для точечного заряда густота линий численно равна

Поток через любую замкнутую поверхность равен числу линий, выходящих наружу, т.е. начинающихся на заряде “+” и заканчивающихся на заряде ”-“ :

Знак потока совпадает со знаком q , размерности одинаковы.

Пусть есть N точечных зарядовq i .

Поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на  0 .

4 Вычисление полей с помощью теоремы Гаусса

4.1 Поле равномерно заряженной бесконечной пластины.

4.2 Поле равномерно заряженной сферической поверхности.

4.3 Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей

4.4 Поле объемно заряженного шара

4.1 Поле равномерно заряженной бесконечной пластины

Введем понятие поверхностной плотности

-заряд на единичную поверхность.

Бесконечная пластина заряжена с постоянной поверхностной плотностью +  . Линии напряженности перпендикулярны рассмотренной плоскости и направлены от нее в обе стороны.

В качестве замкнутой поверхности построим цилиндр, основания которого параллельны плоскости, а ось перпендикулярна ей, т.к. образующие цилиндра параллельны E , тоcos  =0 и поток сквозь боковую поверхность равен 0, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основание.

E’=E’’=E,

То Ф = 2E  S ;

q =  S

Отсюда следует, что E не зависит от длины цилиндра, т.е. поверхность поля на любом расстоянии одинакова по модулю, т.е. поле равномерно заряженной пластины однородно.

4.2 Поле равномерно заряженной сферической поверхности

Сферическая поверхность радиусаR с общим зарядомq .

Т.к. заряд распределен равномерно, то поле обладает сферической симметрией, т.е. линии плоскости направлены радиально.

Построим мысленно сферу радиуса r  R . Т.к.r  R , то весь заряд попадает внутрь поверхности, по теореме Гаусса:

При r  R поле убывает с расстоянияr по такому же закону, как у точечного заряда.

Если r’  R , то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, отсюда следует что внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатического поля отсутствуетЕ=0 .

4.3 Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей

Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями +  и -  .

Поле найдем как суперпозицию, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности.

Вне пластины Е = 0 (поля вычитаются, т.к. линии направлены на встречу друг другу).

В области между плоскостями

Е = Е + + Е -

тогда

Зная ротор вектора а в каждой точке некоторой (не обязательно плоской) поверхности S, можно вычислить циркуляцию этого вектора по контуру Г, ограничивающему S (контур также может быть неплоским). Для этого разобьем поверхность на очень малые элементы . Ввиду их малости эти элементы можно считать плоскими.

Поэтому в соответствии с (11.23) циркуляция вектора а по контуру, ограничивающему может быть представлена в виде

где - положительная нормаль к элементу поверхности

В соответствии с формулой (11.21), просуммировав выражение (11.29) по всем , получим циркуляцию вектора а по контуру Г, ограничивающему

Осуществив предельный переход, при котором все AS стремятся к нулю (число их при этом неограниченно растет), придем к формуле

(11.30)

Соотношение (11.30) носит название теоремы Стокса. Смысл ее состоит в том, что циркуляция вектора а по произвольному контуру Г равна потоку вектора rota через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром.

Оператор набла. Написание формул векторного анализа значительно упрощается и облегчается, если ввести векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом и носящий название оператора набла или оператора Гамильтона. Под этим оператором подразумевается вектор с компонентами Следовательно,

Сам по себе этот вектор смысла не имеет. Он приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую он символически умножается. Так, если умножить вектор у на скаляр , то получится вектор

который представляет собой градиент функции (см. (11.1)).

Если вектор у умножить скалярно на вектор а, получится скаляр

который есть не что иное, как дивергенция вектора а (см. (11.14)).

Наконец, если умножить у на а векторно, получится вектор с компонентами: и т. д., которые совпадают с компонентами rota (см. (11.25) - (11.27)).

Следовательно, воспользовавшись записью векторного произведения с помощью определителя, можно написать

(11-34)

Таким образом, существует два способа обозначений градиента, дивергенции и ротора:

Обозначения с помощью у обладают рядом преимуществ. Поэтому мы в дальнейшем будем применять такие обозначения. Следует приучить себя отождествлять символ со словами «градиент (т. е. говорить не «набла а «градиент фи»), символ - со словами «дивергенция а» и, наконец, символ - со словами «ротор а».

Пользуясь вектором у, нужно помнить, что он является дифференциальным оператором, действующим на все функции, стоящие справа от него. Поэтому при преобразовании выражений, в которые входит у, нужно учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференциального исчисления. Например, производная произведения функций равна

В соответствии с этим

Аналогично

Градиент некоторой функции представляет собой векторную функцию. Поэтому к нему могут быть применены операции дивергенции и ротора.

Данная теорема позволяет рассчитывать циркуляцию вектора по контуру конечной длины с помощью ротора этого вектора.

Циркуляция векторного поля по замкнутому положительно ориентированному контуруL равна потоку ротора этого поля через любую гладкую поверхность S , опирающуюся на данный контур:

. (2.12)

Для доказательства теоремы рассмотрим контур с охватываемой им площадью (рис. 2.6). Весь контур разбивается на элементарные контуры той же ориентации (рис. 2.10).

Циркуляция по элементарному контуру равна
.

Все смежные контура (1 и2 на рис. 2.10) имеют такую особенность: на общей границе при том же значении поля вклад в циркуляцию по каждому из смежных контуров будет происходить с изменением знака (для контура1 -a  b , а для2 - b  a ). В результате вклад в циркуляцию всех внутренних участков контуров взаимно компенсируется, и нескомпенсированными останутся только участки принадлежащие контуруL , что в итоге дает (2.12) .

Частным случаем (2.12) в случае расположения контура на плоскости является формула Д. Грина (М. Остроградского- Д. Грина ):

. (2.13)

Формулы (2.12) и (2.13) позволяют свести вычисление криволинейного интеграла второго рода к вычислению двойного интеграла по области S .

Обратный переход по (2.12) осуществляется аналогично (2.8).

2.4. Оператор набла и оператор п. Лапласа

Написание формул векторного анализа упрощается при использовании оператора набла (оператора У. Гамильтона), представляющего собой вектор
. Сам по себе этот вектор смысла не имеет, но позволяет компактно записать формулы (2.3), (2.5) и (2.9):

;
;
. (2.14)

Кроме того, оператор набла позволяет упростить вычисление дифференциальных операторов более высоких порядков.

Следует отметить, что с  следует обращаться осторожно, а при его использовании нужно помнить о том, что данный оператор является не только векторным , но и дифференциальным .

Например, найдем
. С помощью получаем
. По правиламдифференцирования произведения оператор действует сначала на первый множитель, а затем на второй : . В результате получаем. Процедура вычисления через координаты вектора потребовала бы на порядок больше операций.

Попробуйте получить самостоятельно не включенную в (2.15) формулу для разложения
. Правильный ответ приведен в концеприложения 1 .

Некоторые тождества и операции второго порядка.

;
;

;
;

Оператор Лапласа ( , лапласиан ) является оператором второго порядка.

Как и  ,  применяется как к скаляру, так и к вектору.

. (2.17)

В случае декартовой системы координат (2.18) упрощается :

Сведения о часто применяемых в теории ЭМП криволинейных системах координат (цилиндрической и сферической ) и векторных операциях в них приведены в Приложении 2 .

2.5. Классификация векторных полей

Векторное поле задано однозначно, если известны его ротор и дивергенция как функции пространственных координат.

В зависимости от значений данных функций различают потенциальное , вихревое (соленоидальное ) поле и поле общего типа .

Векторное поле потенциально , если существует некоторая скалярная функцияU , которая связана сследующим образом:
. ФункциюU называютскалярным потенциалом поля .

Необходимым и достаточным условием потенциальности являетсяравенство ротора нулю (
).

Соленоидальным (вихревым ) называется векторное поле, в каждой точке которого
(необходимое и достаточное условие),
.

Соленоидальное векторное поле можно представить как
. В этом случае векторную величинуназываютвекторным потенциалом поля (
).

Название поля данного типа можно объяснить тем, что оно было обнаружено в соленоиде , – катушке индуктивности (она может быть как с сердечником, так и без сердечника), длина которой значительно превышает диаметр.

Если у векторного поля
и
, то это –поле общего типа .

Произвольное векторное поле общего типа можно представить в виде суммы потенциальной и вихревой частей:
, – где ввключеныисточники поля (
), а в–вихри поля (
).

Теперь, после изучения интегральных и дифференциальных операций и основных теорем векторного анализа, можно приступить к изучению базиса теории ЭМП – системы уравнений Максвелла .