Закон распределения дискретной случайной величины х имеет вид. Случайные величины

Определение 1

Случайная величина $Х$ называется дискретной (прерывной), если множество ее значений бесконечное или конечное, но счетное.

Другими словами, величина называется дискретной, если ее значения можно занумеровать.

Описать случайную величину можно с используя закона распределения.

Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны все возможные значения случайной величины в порядке возрастания, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений:

Рисунок 1.

где $р1+ р2+ ... + рn = 1$.

Даная таблица является рядом распределения дискретной случайной величины .

Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ сходится и его сумма будет равна $1$.

Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ можно представить графически, для чего в системе координат (прямоугольной) строят ломаную линию, которая последовательно соединяет точки с координатами $(xi;pi), i=1,2, ... n$. Линию, которую получили называют многоугольником распределения .

Рисунок 2.

Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ может быть также представлен аналитически (с помощью формулы):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Действия над дискретными вероятностями

При решении многих задач теории вероятности необходимо проводить операции умножения дискретной случайной величины на константу , сложения двух случайных величин, их умножения, поднесения к степени. В этих случаях необходимо придерживаться таких правил над случайными дискретными величинами:

Определение 3

Умножением дискретной случайной величины $X$ на константу $K$ называется дискретная случайная величина $Y=KX,$ которая обусловлена равенствами: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\left(x_i\right)=p_i,\ \ i=\overline{1,\ n}.$

Определение 4

Две случайные величины $x$ и $y$ называются независимыми , если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приобрела вторая величина.

Определение 5

Суммой двух независимых дискретных случайных величин $X$ и $Y$ называют случайную величину $Z=X+Y,$ обусловлена равенствами: $z_{ij}=x_i+y_j$, $P\left(z_{ij}\right)=P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline{1,n}$, $j=\overline{1,m}$, $P\left(x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Определение 6

Умножением двух независимых дискретных случайных величин $X$ и $Y$ называют случайную величину $Z=XY,$ обусловлена равенствами: $z_{ij}=x_iy_j$, $P\left(z_{ij}\right)=P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline{1,n}$, $j=\overline{1,m}$, $P\left(x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Примем во внимание, что некоторые произведения $x_{i\ \ \ \ \ }y_j$ могут быть равными между собой. В таком случае вероятность сложения произведения равна сумме соответствующих вероятностей.

Например, если $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $то вероятность $x_2y_3$ (или тоже самое $x_5y_7$) будет равна $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7.$

Сказанное выше касается также и суммы. Если $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ то вероятность $x_1+\ y_2$ (или тоже самое $x_4+\ y_6$) будет равняться $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6.$

Пусnm случайные величины $X$ и $Y$ заданы законами распределения:

Рисунок 3.

Где $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Тогда закон распределения сумы $X+Y$ будет иметь вид

Рисунок 4.

А закон распределения произведения $XY$ будет иметь вид

Рисунок 5.

Фунция распределения

Полное описание случайной величины дает также функция распределения.

Геометрически функция распределения разъясняется как вероятность того, что случайная величина $Х$ принимает значение, которое на числовой прямой изображается точкой, лежащей с левой стороны от точки $х$.

Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств, и в свою очередь, случайная величина называется дискретной , если множество её значений конечно или счётно.

Кроме дискретных случайных величин существуют также непрерывные случайные величины.

Рассмотрим более подробно понятие случайной величины. На практике часто встречаются величины, которые могут принимать некоторые значения, но нельзя достоверно предсказать, какое именно значение каждая из них примет в рассматриваемом опыте, явлении, наблюдении. Например, число мальчиков, которые родятся в Москве в ближайший день, может быть различным. Оно может быть равным нулю (не родится ни одного мальчика: родятся все девочки или вообще не будет новорождённых), одному, двум и так далее до некоторого конечного числа n . К подобным величинам относятся: масса корнеплода сахарной свеклы на участке, дальность полёта артиллерийского снаряда, количество бракованных деталей в партии и так далее. Такие величины будем называть случайными. Они характеризуют все возможные результаты опыта или наблюдения с количественной стороны.

Примерами дискретных случайных величин с конечным числом значений могут служить число родившихся детей в течение дня в населённом пункте, число пассажиров автобуса, число пассажиров, перевезённых московским метро за сутки и т. п.

Число значений дискретной случайной величины может быть и бесконечным, но счётным множеством. Но в любом случае их можно в каком-то порядке пронумеровать, или, более точно - установить взаимно-однозначное соответствие между значениями случайной величины и натуральными числами 1, 2, 3, ..., n .

Внимание: новое, очень важное понятие теории вероятностей - закон распределения . Пусть X может принимать n значений: . Будем считать, что они все различны (в противном случае одинаковые должны быть объединены) и расположены в возрастающем порядке. Для полной характеристики дискретной случайной величины должны быть заданы не только все её значения, но и верояности , с которыми случайная величина принимает каждое из значений, т. е. .

Законом распределения дискретной случайной величины называется любое правило (функция, таблица) p (x ), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной (например, вероятность того, что она пример какое-то значение или попадёт в какой-то интервал).

Наиболее просто и удобно закон распределения дискретной случайной величины задавать в виде следующей таблицы:

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины . В верхней строке ряда распределения перечислены в порядке возрастания все возможные значения дискретной случайной величины (иксы), а в нижней - вероятности этих значений (p ).

События являются несовместимыми и единственно возможными: они образуют полную систему событий. Поэтому сумма их вероятностей равна единице:

.

Пример 1. В студенческой группе организована лотерея. Разыгрывается две вещи стоимостью по 1000 руб. и одна стоимостью по 3000 руб. Составить закон распределения суммы чистого выигрыша для студента, который приобрёл один билет за 100 руб. Всего продано 50 билетов.

Решение. Интересующая нас случайная величина X может принимать три значения: - 100 руб. (если студент не выиграет, а фактически проиграет 100 руб., уплаченные им за билет), 900 руб. и 2900 руб. (фактический выигрыш уменьшается на 100 руб. - на стоимость билета). Первому результату благоприятствуют 47 случаев из 50, второму - 2, а третьему - один. Поэтому их вероятности таковы: P (X =-100)=47/50=0,94 , P (X =900)=2/50=0,04 , P (X =2900)=1/50=0,02 .

Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид

Функция распределения дискретной случайной величины: построение

Ряд распределения может быть построен только для дискретной случайной величины (для недискретной он не может быть построен хотя бы потому, что множество возможных значений такой случайной величины несчётно, их нельзя перечислить в верхней строке таблицы).

Наиболее общей формой закона распределения, пригодной для всех случайных величин (как дискретных, так и недискретных), является функция распределения.

Функцией распределения дискретной случайной величины или интегральной функцией называется функция , которая определяет вероятность, что значение случайной величины X меньше или равно граничному значению х .

Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений.

Пример 2. Дискретная случайная величина X - число очков, выпавших при бросании игральной кости. Постоить её функцию распределения.

Решение. Ряд распределения дискретной случайной величины X имеет вид:

Функция распределения F (x ) имеет 6 скачков, равных по величине 1/6 (на рисунке внизу).

Пример 3. В урне 6 белых шаров и 4 чёрных шара. Из урны вынимают 3 шара. Число белых шаров среди вынутых шаров - дискретная случайная величина X . Составить соответствующий ей закон распределения.

X может принимать значения 0, 1, 2, 3. Соответствующие им вероятности проще всего вычислисть по правилу умножения вероятностей . Получаем следующий закон распределения дискретной случайной величины:

Пример 4. Составить закон распределения дискретной случайной величины - числа попаданий в цель при четырёх выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,1.

Решение. Дискретная случайная величина X может принимать пять различных значений: 1, 2, 3, 4, 5. Соответствующие им вероятности найдём по формуле Бернулли . При

n = 4 ,

p = 1,1 ,

q = 1 - p = 0,9 ,

m = 0, 1, 2, 3, 4

получаем

Следовательно, закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид

Если вероятности значений дискретной случайной величины можно определить по формуле Бернулли, то случайная величина имеет биномиальное распределение .

Если число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в этих испытаниях интересующее событие наступит именно m раз, подчиняется закону распределения Пуассона .

Функция распределения дискретной случайной величины: вычисление

Чтобы вычислить функцию распределения дискретной случайной величины F (х ), требуется сложить вероятности всех тех значений, которые меньше или равны граничному значению х .

Пример 5. В таблице данные о зависимости числа расторгнутых в течение года браков от длительности брака. Найти вероятность того, что очередной расторгнутый брак имел длительность менее или равную 5 годам.

Решение. Вероятности вычислены путём деления числа соответствующих расторгнутых браков на общее число 6010. Вероятность того, что очередной расторгнутый брак был длительностью в 5 лет, равна 0,056. Вероятность, что длительность очередного расторгнутого брака меньше или равна 5 годам, равна 0,186. Мы получили её, прибавив к значению F (x ) для браков с длительностью по 4 года включительно вероятность для браков с длительностью в 5 лет.

Связь закона распределения дискретной случайной величины с математическим ожиданием и дисперсией

Часто не все значения дискретной случайной величины известны, но известны некоторые значения или вероятности из ряда, а также математическое ожидание и (или) дисперсия случайной величины , которым посвящён отдельный урок.

Приведём здесь некоторые формулы из этого урока, которые могут выручить при составлении закона распределения дискретной случайной величины и разберём примеры решения таких задач.

Математическое ожидание дискретной случайной величины - сумма произведений всех возможных её значений на вероятности этих значений:

(1)

Формула дсперсии дискретной случайной величины по определению:

Часто для вычислений более удобна следующая формула дисперсии:

, (2)

где .

Пример 6. Дискретная случайная величина X может принимать только два значения. Меньшее значение она принимает с вероятностью p = 0,6 . Найти закон распределения дискретной случайной величины X , если известно, что её математическое ожидание и дисперсия .

Решение. Вероятность того, что случайная величина примет бОльшее значение x 2 , равна 1 − 0,6 = 4 . Используя формулу (1) математического ожидания, составим уравнение, в котором неизвестные - значения нашей дискретной случайной величины:

Используя формулу (2) дисперсии, составим другое уравнение, в котором неизвестные - также значения дискретной случайной величины:

Систему из двух полученных уравнений

решаем методом подстановки. Из первого уравнения получаем

Подставив это выражение во второе уравнение, после несложных преобразований получим квадратное уравнение

,

которое имеет два корня: 7/5 и −1 . Первый корень не отвечает условиям задачи, так как x 2 < x 1 . Таким образом, значения, которые может принимать дискретная случайная величина X по условиям нашего примера, равны x 1 = −1 и x 2 = 2 .

Примеры решения задач на тему «Случайные величины».

Задача 1 . В лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывался один выигрыш в 50 у.е. и десять выигрышей по 10 у.е. Найти закон распределения величины X – стоимости возможного выигрыша.

Решение. Возможные значения величины X: x 1 = 0; x 2 = 10 и x 3 = 50. Так как «пустых» билетов – 89, то p 1 = 0,89, вероятность выигрыша 10 у.е. (10 билетов) – p 2 = 0,10 и для выигрыша 50 у.е. – p 3 = 0,01. Таким образом:

Легко проконтролировать: .

Задача 2. Вероятность того, что покупатель ознакомился заранее с рекламой товара равна 0,6 (р=0,6 ). Осуществляется выборочный контроль качества рекламы путем опроса покупателей до первого, изучившего рекламу заранее. Составить ряд распределения количества опрошенных покупателей.

Решение. Согласно условию задачи р = 0,6. Откуда: q=1 -p = 0,4. Подставив данные значения, получим: и построим ряд распределения:

Задача 3. Компьютер состоит из трех независимо работающих элементов: системного блока, монитора и клавиатуры. При однократном резком повышении напряжения вероятность отказа каждого элемента равна 0,1. Исходя из распределения Бернулли составить закон распределения числа отказавших элементов при скачке напряжения в сети.

Решение. Рассмотрим распределение Бернулли (или биномиальное): вероятность того, что в n испытаниях событие А появится ровно k раз: , или:

В ернёмся к задаче.

Возможные значения величины X (число отказов):

x 0 =0 – ни один из элементов не отказал;

x 1 =1 – отказ одного элемента;

x 2 =2 – отказ двух элементов;

x 3 =3 – отказ всех элементов.

Так как, по условию, p = 0,1, то q = 1 – p = 0,9. Используя формулу Бернулли, получим

, ,

, .

Контроль: .

Следовательно, искомый закон распределения:

Задача 4 . Произведено 5000 патронов. Вероятность того, что один патрон бракованный . Какова вероятность того, что во всей партии будет ровно 3 бракованных патрона?

Решение. Применим распределение Пуассона : это распределение используется для определения вероятности того, что при очень большом

количестве испытаний (массовые испытания), в каждом из которых вероятность события A очень мала, событие A наступитk раз: , где .

Здесь n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Находим , тогда искомая вероятность: .

Задача 5 . При стрельбе до первого попадания с вероятностью попадания p = 0,6 при выстреле надо найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение. Применим геометрическое распределение: пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых событие A имеет вероятность появления p (и непоявления q = 1 – p). Испытания заканчиваются, как только произойдет событие A.

При таких условиях вероятность того, что событие A произойдет на k-ом испытании, определяется по формуле: . Здесь p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Следовательно, .

Задача 6 . Пусть задан закон распределения случайной величины X:

Найти математическое ожидание.

Решение. .

Заметим, что вероятностный смысл математического ожидания – это среднее значение случайной величины.

Задача 7 . Найти дисперсию случайной величины X со следующим законом распределения:

Решение. Здесь .

Закон распределения квадрата величины X 2 :

Искомая дисперсия: .

Дисперсия характеризует меру отклонения (рассеяния) случайной величины от её математического ожидания.

Задача 8 . Пусть случайная величина задается распределением:

Найти её числовые характеристики.

Решение: м, м 2 ,

М 2 , м.

Про случайную величину X можно сказать либо – ее математическое ожидание 6,4 м с дисперсией 13,04 м 2 , либо – ее математическое ожидание 6,4 м с отклонением м. Вторая формулировка, очевидно, нагляднее.

Задача 9. Случайная величина X задана функцией распределения:
.

Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале .

Решение. Вероятность того, что X примет значение из заданного интервала, равно приращению интегральной функции в этом интервале, т.е. . В нашем случае и , поэтому

.

Задача 10. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

Найти функцию распределения F (x ) и построить ее график.

Решение. Так как функция распределения,

для , то

при ;

при ;

при ;

при ;

Соответствующий график:

Задача 11. Непрерывная случайная величина X задана дифференциальной функцией распределения: .

Найти вероятность попадания X в интервал

Решение. Заметим, что это частный случай показательного закона распределения.

Воспользуемся формулой: .

Задача 12. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

Случайной величиной называют переменную величину, которая в результате каждого испытания принимает одно заранее неизвестное значение, зависящее от случайных причин. Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ По своему типу случайные величины могут быть дискретными и непрерывными .

Дискретная случайная величина - это такая случайная величина, значения которой могут быть не более чем счетными, то есть либо конечными, либо счетными. Под счетностью имеется ввиду, что значения случайной величины можно занумеровать.

Пример 1 . Приведем примеры дискретных случайных величин:

а) число попаданий в мишень при $n$ выстрелах, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

б) число выпавших гербов при подкидывании монеты, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

в) число прибывших кораблей на борт (счетное множество значений).

г) число вызовов, поступающих на АТС (счетное множество значений).

1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Дискретная случайная величина $X$ может принимать значения $x_1,\dots ,\ x_n$ с вероятностями $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Соответствие между этими значениями и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины . Как правило, это соответствие задается с помощью таблицы, в первой строке которой указывают значения $x_1,\dots ,\ x_n$, а во второй строке соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end{array}$

Пример 2 . Пусть случайная величина $X$ - число выпавших очков при подбрасывании игрального кубика. Такая случайная величина $X$ может принимать следующие значения $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Вероятности всех этих значений равны $1/6$. Тогда закон распределения вероятностей случайной величины $X$:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end{array}$

Замечание . Поскольку в законе распределения дискретной случайной величины $X$ события $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ образуют полную группу событий, то в сумме вероятности должны быть равны единице, то есть $\sum{p_i}=1$.

2. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Математическое ожидание случайной величины задает ее «центральное» значение. Для дискретной случайной величины математическое ожидание вычисляется как сумма произведений значений $x_1,\dots ,\ x_n$ на соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$, то есть: $M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix_i}$. В англоязычной литературе используют другое обозначение $E\left(X\right)$.

Свойства математического ожидания $M\left(X\right)$:

1. $M\left(X\right)$ заключено между наименьшим и наибольшим значениями случайной величины $X$.
2. Математическое ожидание от константы равно самой константе, т.е. $M\left(C\right)=C$.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Пример 3 . Найдем математическое ожидание случайной величины $X$ из примера $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix_i}=1\cdot {{1}\over {6}}+2\cdot {{1}\over {6}}+3\cdot {{1}\over {6}}+4\cdot {{1}\over {6}}+5\cdot {{1}\over {6}}+6\cdot {{1}\over {6}}=3,5.$$

Можем заметить, что $M\left(X\right)$ заключено между наименьшим ($1$) и наибольшим ($6$) значениями случайной величины $X$.

Пример 4 . Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=2$. Найти математическое ожидание случайной величины $3X+5$.

Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\cdot 2+5=11$.

Пример 5 . Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=4$. Найти математическое ожидание случайной величины $2X-9$.

Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\cdot 4-9=-1$.

3. Дисперсия дискретной случайной величины.

Возможные значения случайных величин с равными математическими ожиданиями могут по-разному рассеиваться вокруг своих средних значений. Например, в двух студенческих группах средний балл за экзамен по теории вероятностей оказался равным 4, но в одной группе все оказались хорошистами, а в другой группе - только троечники и отличники. Поэтому возникает необходимость в такой числовой характеристике случайной величины, которая бы показывала разброс значений случайной величины вокруг своего математического ожидания. Такой характеристикой является дисперсия.

Дисперсия дискретной случайной величины $X$ равна:

$$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2}.\ $$

В англоязычной литературе используются обозначения $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Очень часто дисперсию $D\left(X\right)$ вычисляют по формуле $D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix^2_i}-{\left(M\left(X\right)\right)}^2$.

Свойства дисперсии $D\left(X\right)$:

1. Дисперсия всегда больше или равна нулю, т.е. $D\left(X\right)\ge 0$.
2. Дисперсия от константы равна нулю, т.е. $D\left(C\right)=0$.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии при условии возведения его в квадрат, т.е. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Пример 6 . Вычислим дисперсию случайной величины $X$ из примера $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2}={{1}\over {6}}\cdot {\left(1-3,5\right)}^2+{{1}\over {6}}\cdot {\left(2-3,5\right)}^2+\dots +{{1}\over {6}}\cdot {\left(6-3,5\right)}^2={{35}\over {12}}\approx 2,92.$$

Пример 7 . Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=2$. Найти дисперсию случайной величины $4X+1$.

Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=16D\left(X\right)=16\cdot 2=32$.

Пример 8 . Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=3$. Найти дисперсию случайной величины $3-2X$.

Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=4D\left(X\right)=4\cdot 3=12$.

4. Функция распределения дискретной случайной величины.

Способ представления дискретной случайной величины в виде ряда распределения не является единственным, а главное он не является универсальным, поскольку непрерывную случайную величину нельзя задать с помощью ряда распределения. Существует еще один способ представления случайной величины - функция распределения.

Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F\left(x\right)$, которая определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения $x$, то есть $F\left(x\right)=P\left(X < x\right)$

Свойства функции распределения :

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, равна разности значений функции распределения на концах этого интервала: $P\left(\alpha < X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - неубывающая.
4. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } F\left(x\right)=0\ },\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } F\left(x\right)=1\ }$.

Пример 9 . Найдем функцию распределения $F\left(x\right)$ для закона распределения дискретной случайной величины $X$ из примера $2$.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end{array}$

Если $x\le 1$, то, очевидно, $F\left(x\right)=0$ (в том числе и при $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X < 1\right)=0$).

Если $1 < x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Если $2 < x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Если $3 < x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Если $4 < x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Если $5 < x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Если $x > 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=1$.

Итак, $F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ при\ x\le 1,\\
1/6,при\ 1 < x\le 2,\\
1/3,\ при\ 2 < x\le 3,\\
1/2,при\ 3 < x\le 4,\\
2/3,\ при\ 4 < x\le 5,\\
5/6,\ при\ 4 < x\le 5,\\
1,\ при\ x > 6.
\end{matrix}\right.$

На этой странице мы собрали примеры решения учебных задач о дискретных случайных величинах . Это довольно обширный раздел: изучаются разные законы распределения (биномиальный, геометрический, гипергеометрический, Пуассона и другие), свойства и числовые характеристики, для каждого ряда распределения можно строить графические представления: полигон (многоугольник) вероятностей, функцию распределения.

Ниже вы найдете примеры решений о дискретных случайных величинах, в которых требуется применить знания из предыдущих разделов теории вероятностей для составления закона распределения, а затем вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, построить функцию распределения, дать ответы на вопросы о ДСВ и т.п.

Примеры для популярных законов распределения вероятностей:

Калькуляторы на характеристики ДСВ

• Вычисление математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения ДСВ .

Решенные задачи о ДСВ

Распределения, близкие к геометрическому

Задача 1. На пути движения автомашины 4 светофора, каждый из которых запрещает дальнейшее движение автомашины с вероятностью 0,5. Найти ряд распределения числа светофоров, пройденных машиной до первой остановки. Чему равны математическое ожидание и дисперсия этой случайной величины?

Задача 2. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Составить закон распределения числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти дисперсию этой случайной величины.

Задача 3. Стрелок, имея 3 патрона, стреляет в цель до первого попадания. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах соответственно 0,6, 0,5, 0,4. С.В. $\xi$ - число оставшихся патронов. Составить ряд распределения случайной величины, найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение с.в., построить функцию распределения с.в., найти $P(|\xi-m| \le \sigma$.

Задача 4. В ящике содержится 7 стандартных и 3 бракованных детали. Вынимают детали последовательно до появления стандартной, не возвращая их обратно. $\xi$ - число извлеченных бракованных деталей.
Составить закон распределения дискретной случайной величины $\xi$, вычислить ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, начертить многоугольник распределения и график функции распределения.

Задачи с независимыми событиями

Задача 5. На переэкзаменовку по теории вероятностей явились 3 студента. Вероятность того, что первый сдаст экзамен, равна 0,8, второй - 0,7, третий - 0,9. Найдите ряд распределения случайной величины $\xi$ числа студентов, сдавших экзамен, постройте график функции распределения, найдите $М(\xi), D(\xi)$.

Задача 6. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8 и уменьшается с каждым выстрелом на 0,1. Составить закон распределения числа попаданий в цель, если сделано три выстрела. Найти математическое ожидание, дисперсию и С.К.О. этой случайной величины. Построить график функции распределения.

Задача 7. По цели производится 4 выстрела. Вероятность попадания при этом растет так: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Найти закон распределения случайной величины $X$ - числа попаданий. Найти вероятность того, что $X \ge 1$.

Задача 8. Подбрасываются две симметричные монеты, подсчитывается число гербов на обеих верхних сторонах монет. Рассматривается дискретная случайная величина $X$- число выпадений гербов на обеих монетах. Записать закон распределения случайной величины $X$, найти ее математическое ожидание.

Другие задачи и законы распределения ДСВ

Задача 9. Два баскетболиста делают по три броска в корзину. Вероятность попадания для первого баскетболиста равна 0,6, для второго – 0,7. Пусть $X$ - разность между числом удачных бросков первого и второго баскетболистов. Найти ряд распределения, моду и функцию распределения случайной величины $X$. Построить многоугольник распределения и график функции распределения. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение. Найти вероятность события $(-2 \lt X \le 1)$.

Задача 10. Число иногородних судов, прибывающих ежедневно под погрузку в определенный порт – случайная величина $X$, заданная так:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
А) убедитесь, что задан ряд распределения,
Б) найдите функцию распределения случайной величины $X$,
В) если в заданный день прибывает больше трех судов, то порт берет на себя ответственность за издержки вследствие необходимости нанимать дополнительных водителей и грузчиков. Чему равна вероятность того, что порт понесет дополнительные расходы?
Г) найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины $X$.

Задача 11. Бросают 4 игральные кости. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях.

Задача 12. Двое поочередно бросают монету до первого появления герба. Игрок, у которого выпал герб, получает от другого игрока 1 рубль. Найти математическое ожидание выигрыша каждого игрока.